Obecnie w powszechnym użyciu, jest system liczbowy dziesiętny. W przeszłości były stosowane różne inne systemy liczbowe.
Starożytni Grecy używali do oznaczania liczb liter swojego alfabetu: literami od alfy do tety oznaczano liczbę jednostek (1-9), dalszymi dziewięcioma literami oznaczano liczbę dziesiątek, a jeszcze dalszymi liczbę setek. Rzymianie wprowadzili symbole dla oznaczania jedynki, pięciu, dziesięciu, pięćdziesięciu, stu itd. Posługiwanie się liczbami coraz wyższych rzędów wymagało wprowadzania coraz nowych symboli. W niektórych systemach liczbowych za podstawę służyły liczby 60 (do dziś używane w liczeniu czasu) lub 12.
W siódmym wieku, w Indiach został wymyślony liczbowy system pozycyjny, w którym za pomocą niewielkiej ilości różnych symboli (cyfr) można zapisać dowolnie dużą liczbę przypisując poszczególnym cyfrom różne wagi zależnie od ich pozycji w ciągu i zaznaczając nieobecność składników o pewnych wagach symbolem zera. Dopiero system oparty na liczbie 10 ( dziesiętny system liczbowy ), wprowadzony niezależnie od znacznie wcześniejszych dość podobnych koncepcji, został za pośrednictwem kupców arabskich rozpowszechniony na cały ówczesny świat.
Dziesiętny system liczbowy
System dziesiętny jest nazywany systemem arabskim, a same cyfry 0, 1, ... , 9 - cyframi arabskimi. Arabowie posługiwali się nim powszechnie już w IX wieku, a do Europy Zachodniej przenieśli go w X - XIII wieku. Używany system dziesiętny jest systemem pozycyjnym i jednorodnym (wagi są potęgami tej samej liczby). Na przykład następujący napis 1410,52 jest interpretowany w sposób następujący, że jest to: tysiąc czterysta dziesięć i pięćdziesiąt dwie setne, jako wynik sumy 1x10^3 + 4x10^2 + 1x10^1 + 0x10^0 + 5x10^-1 + 2x10^-2.
System liczbowy pozycyjny o podstawie p
Podobnie interpretujemy napisy w systemie pozycyjnym o podstawie p. Zapis liczby w takim systemie będzie miał następującą postać: Cn x C^n, Cn-1 x C^n-1, ... , C2, C1, C0, C-1^-1, C-2^-2 ... Cm^-m gdzie Ci to cyfra przypisana pozycji i dla i od n do m. W systemie dziesiętnym podstawą systemu jest liczba dziesięć (p = 10). Systemu dziesiętny wydaje się najwygodniejszy. Podstawą systemu może jednak być inna liczba, np. dwa, trzy, pięć, osiem, szesnaście. Przyjmijmy, że p jest liczbą naturalną większą od jedności. W systemie o podstawie p występuje p różnych cyfr. W każdym systemie występuje cyfra zero, a dowolna cyfra ma wartość niższą niż podstawa p. W systemie dziesiętnym używamy dziesięciu cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; liczbę dziesięć zapisujemy w postaci 10 (jedna dziesiątka, zero jednostek), liczby większe zapisujemy korzystając z pozycji o wyższych wagach.
Ósemkowy system liczbowy
W systemie ósemkowym używamy ośmiu cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7; liczbę osiem zapisujemy 10 (jedna ósemka, zero jednostek); liczbę dziewięć zapisujemy 11 itd., tzn. cyfry 8 i 9 używane w systemie dziesiętnym nie są potrzebne, ponieważ przekroczenie ośmiu na jakiejkolwiek pozycji oznacza wystąpienie przeniesienia na pozycje wyższe.
System szesnastkowy
Dla odmiany w systemie szesnastkowym potrzebujemy dodatkowych sześciu cyfr. Zwykle używa się do tego pierwszych sześciu liter alfabetu łacińskiego (czasem nad literami, dla odróżnienia od normalnego zastosowania litery, umieszcza się kreski). Cyframi w systemie szesnastkowym są: 0, 1, 2, 3, ... , 9, A, B, C, D, E, F; A oznacza cyfrę 10, B - cyfrę 11, ... , F - cyfrę 15. Ciąg cyfr z przecinkiem 1410,52 może zatem oznaczać równie dobrze liczbę ósemkową co liczbę szesnastkową. Pomnożenie liczby zapisanej w systemie o podstawie p przez pk, gdzie k oznacza liczbę naturalną, odpowiada przesunięciu przecinka o k miejsc w prawo, a podzielenie przez pk odpowiada przesunięciu przecinka o k miejsc w lewo.
W komputerze podczas wykonywania obliczeń często miejsce przecinka jest ustalone, w związku z tym, zamiast przecinka przesuwa się ciąg cyfr przedstawiających liczbę. Są to tzw. przesunięcia arytmetyczne. Liczba pozycji służących do zapisu liczby jest ograniczona. W tej sytuacji zarówno te wartości, których nie można przedstawić w danym systemie ze względu na nieskończone rozwinięcie, jak i te, których przedstawienie wymaga niedostępnej liczby pozycji po przecinku, muszą być zastąpione wartościami przybliżonymi.
Komentarze